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NÚMEROS NATURALES MEDIANTE LOS AXIOMAS DE PEANO

autor Carlos S. CHINEA

Sábado 17 de abril de 2010, por claudio

El conjunto N de los números naturales puede ser introducido de forma natural como el conjunto de los cardinales de los conjuntos entre sí coordinables, en el sentido de Dedekind.

Resulta equivalente introducirlos desde el punto de vista de un lenguaje formalizado, desde la lógica matemática, mediante un conjunto de axiomas o condiciones postuladas. En 1989 Giusepe Peano propuso un conjunto de nueve axiomas (que después de algunas correcciones quedarían en solo cinco) con los cuales es posible deducir en N tanto las propiedades de las operaciones internas de suma y multiplicación como su orden total. En la presentación que sigue exponemos los cinco postulados de Peano y la derivación de las propiedades básicas para la suma y la multiplicación en N, así como su ordenación.

Los axiomas de Peano

Se define el conjunto N de los números naturales como un conjunto que verifica las cinco condiciones siguientes:

1) Existe un elemento de N al que llamaremos cero (0) (ojo en general, en Chile los Naturales comienzan en el 1)

2) Existe la llamada aplicación

3) El cero no es imagen por la aplicación

4) La aplicación siguiente es inyectiva

5) Se verifica la inducción completa

¿Qué afirman estos cinco postulados (axiomas?

Resumiendo lo que afirman estos postulados o axiomas, podemos entender que se trata de un conjunto que tiene un elemento, el cero (Ax.1), que no es siguiente de ningún otro (Ax. 3), es decir, se trata del primer elemento del conjunto, y todos los demás elementos tienen cada uno un elemento siguiente (Ax. 2), de modo que dos elementos distintos tienen siguientes distintos (Ax.4). El quinto postulado es de suma importancia por dotarnos de un método de demostración de propiedades, ya que nos indica que todo conjunto A al que pertenezca el cero, y tal que todo elemento de A tiene siguiente en A, necesariamente ha de coincidir con el conjunto N de los números naturales. Es lo que se acostumbra a denominar: Método Simple de Inducción Completa.

A partir de estas cinco condiciones, y usando sistemáticamente el quinto axioma, de la inducción completa, podemos probar todas las propiedades del conjunto N.

A saber

Teorema 1.1: Ningún número natural coincide con su siguiente

Teorema 1.2: Si dos aplicaciones de N en N conmutan con la aplicación siguiente y tienen la misma imagen para el cero, entonces ambas coinciden

Teorema 1.3: Si dos aplicaciones de N en N, f , g ∈ Ap(N) , tienen la misma imagen para el cero y existe alguna aplicación ρ de N en N tal que f oϕ = ρ o f , g oϕ = ρ o g , entonces ambas aplicaciones coinciden, esto es, f (n) = g(n), ∀n∈ N

El detalle y demostración de estos teoremas estan en el documento adjunto en formato pdf.

La suma o adición de números naturales:

Definición 2.1: Definimos la suma de números naturales como una aplicación S : NxN → N , de modo que para ∀n,m∈ NxN, S(n,m)∈ N se cumple que: 1) S(0,m) = m 2) S(ϕ (n),m) =ϕ[S(n,m)].

Teorema 2.1: La definición de suma es única, es decir, si 1S , 2S son sumas, entonces 1S = 2S

Teorema 2.2: Se verifican las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para la suma de números naturales:

Demostraciones en documento adjunto.

La multiplicación o producto de números naturales

Definición 3.1: Definimos la multiplicación de números naturales como una aplicación P : NxN → N , de modo que para ∀n,m∈ NxN, P(n,m)∈ N se cumple que: 1) P(0,m) = 0 2) P(ϕ (n),m) = P(n,m) + m.

Más detalles y demostraciones en documento adjunto.

La ordenación:

De los axiomas de Peano sabemos que todo número natural tiene un siguiente. Veamos, que cualquier número natural, salvo el cero, es siguiente de otro número natural, mediante una sencilla proposición.

Teorema 4.1: Todo número natural distinto del cero es el siguiente de otro número natural

Teorema 4.2: La relación “menor o igual que” es relación de orden, es decir, es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Teorema 4.3: Se verifica la alternativa siguiente: ∀a,b∈ N, a < b ∨ a = b ∨ a > b (propiedad de tricotomía). (esto es lo mismo que afirmar que ∀a,b∈ N, a ≤ b ∨ b ≤ a , es decir, que la relación de órden “≤" es un orden total)

Detalles demostraciones y mayor detalle en docuimento adjunto.

Bibliografía: Birkhoff, G.-McLane, S.; “Álgebra Moderna”, Vicens Vives, 1974. Cohn, P.M.; “Classic Algebra”, John Wiley & Sons, 2001 García Merayo, F.; “Matemática discreta”, Paraninfo, 2001. Godement, R.-Melendez Rolla, M.; “Algebra”, Editorial Tecnos, 1974 Grimaldi, R. P.; “Matemática discreta y combinatoria”. Addison-Wesley Iberoamericana, 1989. Johnsonbaugh, R.; “Matemática Discreta”. Pearson Educación, 2005. Rosen, K. H.; “Matemática Discreta y sus aplicaciones”. McGraw-Hill, 2004. Vera López, A. y otros; “Álgebra abstracta aplicada”. 1992.

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