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Abel, Galois y el Concepto de Estructura Matemática - clases matematica ejercicios matematicas avisos clasificados gratis
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Niels Henrik Abel y Evariste Galois, dos ilustres matemáticos

Abel, Galois y el Concepto de Estructura Matemática

Estructuras Matemáticas Grupo, Anillo y de Cuerpo.

Sábado 28 de noviembre de 2009, por claudio

Abel, Galois y el Concepto de Estructura Matemática

ABEL, GALOIS Y EL CONCEPTO DE ESTRUCTURA MATEMÁTICA. Joaquín González Álvarez

No obstante lo corto de sus vidas, a los matemáticos Niels Henrik Abel y Evariste Galois se debe la fundamentación del importante concepto de Grupo en Matemáticas. Aunque más adelante aclararemos los términos, por ahora daremos una idea de lo que se entiende por Grupo sin intentar una definición rigurosa. En Matemáticas un conjunto de elementos, por ejemplo de números, constituyen un Grupo asociado a una operación matemática , por ejemplo la suma, si la suma de dos de esos elementos da un elemento de ese mismo conjunto. El Grupo constituye una Estructura Matemática. Existen otras Estructuras Matemáticas como las Estructuras de Anillo y de Cuerpo.

Sin lo dramáticamente peculiar de sus vidas, habrían pasado a la historia de la ciencia, los nombres de Niels Henrik Abel y Evariste Galois, dos ilustres matemáticos, por su talento y por la importancia de sus obras.

Niels Henrik Abel desarrolló su obra en los primeros años del siglo XlX. En su natal Noruega, pronto se destacó en el campo de las Matemáticas a las cuales hizo aportes que sólo después de su muerte fueron altamente valorados. Sus trabajos se concentraron en la resolución de ecuaciones algebraicas y en la teoría de los grupos, fundamental concepto de la Matemática Moderna. Tal es la importancia de su contribución, que un tipo de Grupos Matemáticos se denominan Abelianos. Con motivo de conmemorarse en el 2002 el bicentenario de su nacimiento, se instituyó el Premio Abel de Matemáticas en honor a él.

Pero de tanta gloria ni siquiera sospechó Abel por la indiferencia o por la ignorancia de sus contemporáneos que no lo reconocieron al menos en su inmediato entorno, cosa muy común. No obstante sus trabajos llegaron a Berlín y su universidad acordó nombrarlo profesor de su claustro, distinción inmensa, pero la notificación llegó adonde hubiera podido recibirla Abel, dos días después de morir víctima de la tuberculosis. Tenía tan solo 27 años.

Análoga a la de Abel es la historia del francés Evariste Galois. Vivieron en la misma época y se dedicaron también dentro de las Matemáticas al estudio de los Grupos, pero no tenemos noticias de que se conocieran. Al igual que Abel, sus trabajos sólo fueron reconocidos, y de que manera, después de su muerte pero de tal forma que en cualquier texto de Álgebra Moderna su nombre como el de Abel es citado alrededor de veinte veces.

Presumiendo su muerte escribió a un amigo una carta en la cual resumía toda su Teoría de los Grupos y le pedía que se la enseñara a los conocidos matemáticos Jacobi y Gauss solicitando su opinión. Al otro día de enviarla murió en un duelo a los 21 años de edad. El amigo no hizo lo que le pedía Galois. La carta apareció catorce años después.

Triste historia de dos genios cuyas vidas fueron tronchadas cuando comenzaban, ignorados absurdamente por sus contemporáneos. Hemos calificado el no reconocimiento a tiempo de ignorancia, abulia, indiferencia, pero no hemos acudido a una explicación que es muy probable: la envidia, la envidia muy presente en estos casos, bien que lo saben los envidiables envidiados.

Para poder mas adelante ocuparnos del concepto de grupo, debemos previamente tratar sobre el de Estructura Matemática para lo cual es necesario exponer, el de Estructura en general siguiendo los criterios de Jean Piaget y Claude Levi- Struss.

Sin pretender una definición rigurosa, diremos que una Estructura es a) un sistema de elementos interrelacionados entre si, b) el sistema presenta propiedades que no se evidenciaban en los elementos aisladamente (emergencia), c) los elementos interaccionan (operan) entre si dando lugar a elementos que también pertenecen al sistema. La condición c) nos recuerda el concepto de Grupo que al principio dimos. Por lo menos por la condición b), el surgimiento de propiedades emergentes (emergencia) en la Estructura, esto es, propiedades que no evidenciaban los elementos por separado, se asemeja el concepto de Estructura al de Sistema Complejo en el contexto de la Teoría de la Complejidad. Conocidos estos aspectos podremos entender que se tengan como ejemplos de Estructura, atendiendo principalmente a la Emergencia, los siguientes sistemas:

- La mente. La conciencia emerge en el sistema de neuronas, ninguna neurona es consciente por si sola.

- La Sociedad. Las relaciones sociales emergen en la colectividad, un individuo aislado no evidencia lo social.

- La molécula. El cloruro de sodio. la sal común, emerge al combinarse el átomo de cloro con el de sodio. Ni el átomo de cloro ni el de sodio, aisladamente, son la sal común.

- Según Ferdinand de Saussure considerado como el fundador de la lingüística, la lengua es un conjunto de signos que aislados nada significan, sólo al integrarse en la Estructura habla, los signos adquieren significado.

En cada uno de los ejemplos mostrados, se cumple también la condición c) antes enunciada. En cada caso, una relación propia del sistema (una operación) efectuada entre elementos del mismo, da lugar a un elemento del mismo conjunto. En la mente: la sinapsis, en la sociedad las respectivas y conocidas relaciones, en el caso de las molécula: las combinaciones químicas y en el habla: las reglas gramaticales.

Llegado a este punto ya podemos referirnos al ejemplo de Estructura que nos ocupa: la Estructura Matemática. El Grupo de cuyo concepto ya dimos idea, muestra las características de Estructura en general. Veamos, el conjunto de los números enteros y positivos con la operación suma constituye una Estructura. Los números aislados fuera del sistema nada significan, sólo toman significado cuando emergen propiedades como la suma dando como resultado elementos que también son del conjunto.

El concepto de Grupo reviste singular importancia no sólo como ente abstracto, sino también por sus múltiples aplicaciones en matemáticas, física y otras disciplinas. Pondremos varios ejemplos. El primero se inscribe dentro de la geometría, aunque también de la física ya que hay que aludir al movimiento, en este caso al giro antihorario del radio de un círculo trigonométrico (ángulo cero en el extremo derecho del diámetro horizontal) como el representado en la parte superior de la figura que mostramos.

El concepto de Grupo reviste singular importancia no sólo como ente abstracto, sino también por sus múltiples aplicaciones matemáticas. Como se observa,la unidad imaginaria i significa un giro de 90 grados, –1 de 180, -i, 270 y +1 cero grados. En la cuadrícula que aparece en la parte inferior de la figura se han dispuesto los símbolos 1, i, –1, -i, en ese orden, en la primera fila y la primera columna. En cada una de las restantes casillas aparece el resultado de multiplicar las cantidades que ocupan el inicio de la fila y el de la columna correspondiente. Así en la casilla intersección de la fila –1 con la columna i, aparece su producto –i, que es otro elemento del conjunto de los símbolos utilizados y así sucederá en todas las casillas, lo cual muestra que el conjunto de signos utilizados constituye una estructura de grupo. Referido al giro del radio en el círculo, al multiplicar -1 por i y darnos –i, se nos muestra que un giro de 180 grados seguido de otro de 90 nos da uno de 270.

El siguiente ejemplo de aplicación lo tomamos de la física de las partículas elementales, algo con lo que no pudieron soñar ni Abel no Galois. Si un grupo como el del ejemplo anterior mostrara la relación de propiedades entre sólo tres partículas elementales ya conocidas y las colocáramos mediante símbolos en una cuadrícula 4x4 como la de la figura, la casilla vacía correspondería a las propiedades de una partícula no conocida, inferidas por “el producto” de las propiedades simbolizadas en el inicio de la columna y en el de la fila correspondientes, y así podremos predecir las de una partícula que está por descubrir. Este procedimiento ya se ha utilizado en experimentos como el del Gran Colisionador de Hadrones del que se ha hecho gran publicidad recientemente.

Por último haremos breve referencia informativa al hecho de que en la reciente resolución por el matemático ruso Grigori Perelman de la famosa Conjetura de Poincaré, el concepto de grupo estuvo muy presente. Una de las maneras de expresar la conjetura de Poincaré es que el único ente geométrico que por posibles transformaciones de su superficie pueda asimilarse a la forma de nuestro universo, es uno que permita que un lazo cerrado “dibujado” en su superficie pueda constreñirse hasta convertirse en un punto sin abandonar la superficie. Los lazos que se puedan “dibujar” pueden unirse entre si y el resultado es otro posible lazo del conjunto, por lo cual constituyen un grupo.

Como ya dijimos, existen otros tipos de Estructuras Matemáticas como son la Estructura de Anillo y la de Cuerpo. Se asemejan a la de Grupo, pero en la de Anillo son dos las operaciones: suma y producto cumpliendo la propiedad distributiva. En la Estructura de Cuerpo, además se cumple la propiedad asociativa de la suma lo cual la diferencia de la de Anillo.

Hemos visto, pues, como el breve pero brillante paso por la Historia de Niels Henrik Abel y Evariste Galois significó la consolidación de los fundamentos de lo que hoy se conoce como Matemática Moderna. Joaquín GONZÁLEZ ÁLVAREZ j.gonzalez.a@hotmail.com

por Joaquín GONZALEZ ALVAREZ (Joaquín GONZÁLEZ ALVAREZ es Profesor Universitario de Física (Jubilado) y Optometrista, Graduado por la Universidad de la Habana. Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, con residencia en Estados Unidos. Autor de varios libros de texto y divulgación relacionados con sus epecialidades)

E-Mail: j.gonzalez.a@hotmail.com

No obstante lo corto de sus vidas, a los matemáticos Niels Henrik Abel y Evariste Galois se debe la fundamentación del importante concepto de Grupo en Matemáticas. Aunque más adelante aclararemos los términos, por ahora daremos una idea de lo que se entiende por Grupo sin intentar una definición rigurosa. En Matemáticas un conjunto de elementos, por ejemplo de números, constituyen un Grupo asociado...

Abel, Galois y el Concepto de Estructura Matemática

ABEL, GALOIS Y EL CONCEPTO DE ESTRUCTURA MATEMÁTICA. Joaquín González Álvarez

No obstante lo corto de sus vidas, a los matemáticos Niels Henrik Abel y Evariste Galois se debe la fundamentación del importante concepto de Grupo en Matemáticas. Aunque más adelante aclararemos los términos, por ahora daremos una idea de lo que se entiende por Grupo sin intentar una definición rigurosa. En Matemáticas un conjunto de elementos, por ejemplo de números, constituyen un Grupo asociado a una operación matemática , por ejemplo la suma, si la suma de dos de esos elementos da un elemento de ese mismo conjunto. El Grupo constituye una Estructura Matemática. Existen otras Estructuras Matemáticas como las Estructuras de Anillo y de Cuerpo.

Sin lo dramáticamente peculiar de sus vidas, habrían pasado a la historia de la ciencia, los nombres de Niels Henrik Abel y Evariste Galois, dos ilustres matemáticos, por su talento y por la importancia de sus obras.

Niels Henrik Abel desarrolló su obra en los primeros años del siglo XlX. En su natal Noruega, pronto se destacó en el campo de las Matemáticas a las cuales hizo aportes que sólo después de su muerte fueron altamente valorados. Sus trabajos se concentraron en la resolución de ecuaciones algebraicas y en la teoría de los grupos, fundamental concepto de la Matemática Moderna. Tal es la importancia de su contribución, que un tipo de Grupos Matemáticos se denominan Abelianos. Con motivo de conmemorarse en el 2002 el bicentenario de su nacimiento, se instituyó el Premio Abel de Matemáticas en honor a él.

Pero de tanta gloria ni siquiera sospechó Abel por la indiferencia o por la ignorancia de sus contemporáneos que no lo reconocieron al menos en su inmediato entorno, cosa muy común. No obstante sus trabajos llegaron a Berlín y su universidad acordó nombrarlo profesor de su claustro, distinción inmensa, pero la notificación llegó adonde hubiera podido recibirla Abel, dos días después de morir víctima de la tuberculosis. Tenía tan solo 27 años.

Análoga a la de Abel es la historia del francés Evariste Galois. Vivieron en la misma época y se dedicaron también dentro de las Matemáticas al estudio de los Grupos, pero no tenemos noticias de que se conocieran. Al igual que Abel, sus trabajos sólo fueron reconocidos, y de que manera, después de su muerte pero de tal forma que en cualquier texto de Álgebra Moderna su nombre como el de Abel es citado alrededor de veinte veces.

Presumiendo su muerte escribió a un amigo una carta en la cual resumía toda su Teoría de los Grupos y le pedía que se la enseñara a los conocidos matemáticos Jacobi y Gauss solicitando su opinión. Al otro día de enviarla murió en un duelo a los 21 años de edad. El amigo no hizo lo que le pedía Galois. La carta apareció catorce años después.

Triste historia de dos genios cuyas vidas fueron tronchadas cuando comenzaban, ignorados absurdamente por sus contemporáneos. Hemos calificado el no reconocimiento a tiempo de ignorancia, abulia, indiferencia, pero no hemos acudido a una explicación que es muy probable: la envidia, la envidia muy presente en estos casos, bien que lo saben los envidiables envidiados.

Para poder mas adelante ocuparnos del concepto de grupo, debemos previamente tratar sobre el de Estructura Matemática para lo cual es necesario exponer, el de Estructura en general siguiendo los criterios de Jean Piaget y Claude Levi- Struss.

Sin pretender una definición rigurosa, diremos que una Estructura es a) un sistema de elementos interrelacionados entre si, b) el sistema presenta propiedades que no se evidenciaban en los elementos aisladamente (emergencia), c) los elementos interaccionan (operan) entre si dando lugar a elementos que también pertenecen al sistema. La condición c) nos recuerda el concepto de Grupo que al principio dimos. Por lo menos por la condición b), el surgimiento de propiedades emergentes (emergencia) en la Estructura, esto es, propiedades que no evidenciaban los elementos por separado, se asemeja el concepto de Estructura al de Sistema Complejo en el contexto de la Teoría de la Complejidad. Conocidos estos aspectos podremos entender que se tengan como ejemplos de Estructura, atendiendo principalmente a la Emergencia, los siguientes sistemas:

- La mente. La conciencia emerge en el sistema de neuronas, ninguna neurona es consciente por si sola.

- La Sociedad. Las relaciones sociales emergen en la colectividad, un individuo aislado no evidencia lo social.

- La molécula. El cloruro de sodio. la sal común, emerge al combinarse el átomo de cloro con el de sodio. Ni el átomo de cloro ni el de sodio, aisladamente, son la sal común.

- Según Ferdinand de Saussure considerado como el fundador de la lingüística, la lengua es un conjunto de signos que aislados nada significan, sólo al integrarse en la Estructura habla, los signos adquieren significado.

En cada uno de los ejemplos mostrados, se cumple también la condición c) antes enunciada. En cada caso, una relación propia del sistema (una operación) efectuada entre elementos del mismo, da lugar a un elemento del mismo conjunto. En la mente: la sinapsis, en la sociedad las respectivas y conocidas relaciones, en el caso de las molécula: las combinaciones químicas y en el habla: las reglas gramaticales.

Llegado a este punto ya podemos referirnos al ejemplo de Estructura que nos ocupa: la Estructura Matemática. El Grupo de cuyo concepto ya dimos idea, muestra las características de Estructura en general. Veamos, el conjunto de los números enteros y positivos con la operación suma constituye una Estructura. Los números aislados fuera del sistema nada significan, sólo toman significado cuando emergen propiedades como la suma dando como resultado elementos que también son del conjunto.

El concepto de Grupo reviste singular importancia no sólo como ente abstracto, sino también por sus múltiples aplicaciones en matemáticas, física y otras disciplinas. Pondremos varios ejemplos. El primero se inscribe dentro de la geometría, aunque también de la física ya que hay que aludir al movimiento, en este caso al giro antihorario del radio de un círculo trigonométrico (ángulo cero en el extremo derecho del diámetro horizontal) como el representado en la parte superior de la figura que mostramos.

El concepto de Grupo reviste singular importancia no sólo como ente abstracto, sino también por sus múltiples aplicaciones matemáticas. Como se observa,la unidad imaginaria i significa un giro de 90 grados, –1 de 180, -i, 270 y +1 cero grados. En la cuadrícula que aparece en la parte inferior de la figura se han dispuesto los símbolos 1, i, –1, -i, en ese orden, en la primera fila y la primera columna. En cada una de las restantes casillas aparece el resultado de multiplicar las cantidades que ocupan el inicio de la fila y el de la columna correspondiente. Así en la casilla intersección de la fila –1 con la columna i, aparece su producto –i, que es otro elemento del conjunto de los símbolos utilizados y así sucederá en todas las casillas, lo cual muestra que el conjunto de signos utilizados constituye una estructura de grupo. Referido al giro del radio en el círculo, al multiplicar -1 por i y darnos –i, se nos muestra que un giro de 180 grados seguido de otro de 90 nos da uno de 270.

El siguiente ejemplo de aplicación lo tomamos de la física de las partículas elementales, algo con lo que no pudieron soñar ni Abel no Galois. Si un grupo como el del ejemplo anterior mostrara la relación de propiedades entre sólo tres partículas elementales ya conocidas y las colocáramos mediante símbolos en una cuadrícula 4x4 como la de la figura, la casilla vacía correspondería a las propiedades de una partícula no conocida, inferidas por “el producto” de las propiedades simbolizadas en el inicio de la columna y en el de la fila correspondientes, y así podremos predecir las de una partícula que está por descubrir. Este procedimiento ya se ha utilizado en experimentos como el del Gran Colisionador de Hadrones del que se ha hecho gran publicidad recientemente.

Por último haremos breve referencia informativa al hecho de que en la reciente resolución por el matemático ruso Grigori Perelman de la famosa Conjetura de Poincaré, el concepto de grupo estuvo muy presente. Una de las maneras de expresar la conjetura de Poincaré es que el único ente geométrico que por posibles transformaciones de su superficie pueda asimilarse a la forma de nuestro universo, es uno que permita que un lazo cerrado “dibujado” en su superficie pueda constreñirse hasta convertirse en un punto sin abandonar la superficie. Los lazos que se puedan “dibujar” pueden unirse entre si y el resultado es otro posible lazo del conjunto, por lo cual constituyen un grupo.

Como ya dijimos, existen otros tipos de Estructuras Matemáticas como son la Estructura de Anillo y la de Cuerpo. Se asemejan a la de Grupo, pero en la de Anillo son dos las operaciones: suma y producto cumpliendo la propiedad distributiva. En la Estructura de Cuerpo, además se cumple la propiedad asociativa de la suma lo cual la diferencia de la de Anillo.

Hemos visto, pues, como el breve pero brillante paso por la Historia de Niels Henrik Abel y Evariste Galois significó la consolidación de los fundamentos de lo que hoy se conoce como Matemática Moderna. Joaquín GONZÁLEZ ÁLVAREZ j.gonzalez.a@hotmail.com

por Joaquín GONZALEZ ALVAREZ (Joaquín GONZÁLEZ ALVAREZ es Profesor Universitario de Física (Jubilado) y Optometrista, Graduado por la Universidad de la Habana. Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, con residencia en Estados Unidos. Autor de varios libros de texto y divulgación relacionados con sus epecialidades)

E-Mail: j.gonzalez.a@hotmail.com

No obstante lo corto de sus vidas, a los matemáticos Niels Henrik Abel y Evariste Galois se debe la fundamentación del importante concepto de Grupo en Matemáticas. Aunque más adelante aclararemos los términos, por ahora daremos una idea de lo que se entiende por Grupo sin intentar una definición rigurosa. En Matemáticas un conjunto de elementos, por ejemplo de números, constituyen un Grupo asociado...

Homenaje a ABEL y GALOIS Creo que debo explicaros a que se debe mi nombre "abelgalois", aunque supongo que muchos lo sabéis. Es mi pequeño homenaje a Galois, ejemplo de inconformismo y tenacidad frente a la incomprensión de los "grandes" matemáticos de la época y a Abel que nunca alcanzó el reconocimiento que merecía. Os dejo ’este resumen’ de sus biografías, siento mucho que nadie haya dicho cuantas líneas tenía que tener un resumen...

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnöy en la costa sudoccidental de Noruega. Al principio de su instrucción Abel se mostraría como un estudiante indiferente, más bien mediocre y sin que incluso las matemáticas le despertaran atracción alguna. Era notorio su malestar en la escuela. No obstante, un inesperado cambio se produjo a raíz de la muerte de un condiscípulo ante los malos tratos de un maestro brutal que se excedía con castigos corporales a sus alumnos. El maestro fue entonces relevado (1818) por un joven matemático de mayor competencia, Bernt Holmboe (1795-1850), quien incentivó a sus alumnos a resolver por sí mismos problemas de álgebra y de geometría, Abel se familiarizó con resultados superiores conocidos en su época, afanándose en las tres obras de L. Euler (1707-1803) sobre el cálculo, de I. Newton (1642-1727), de C.F. Gauss (1777-1855), de J.L. Lagrange (1736-1813) En la revista Magazin for Naturvidenskaben que se imprimió en Noruega en 1823, se publicaron algunos breves trabajos de Abel, entre ellos uno en el que aparece por primera vez el planteamiento y la solución de una ecuación integral.En su último año de escuela, Abel se mostraría muy interesado en un importante problema del álgebra, infructuosamente afrontado desde el siglo XVI y que a pesar de los esfuerzos de Lagrange y otros matemáticos, figuraba entre los grandes problemas abiertos. En términos concretos, se trataba de hallar la solución mediante radicales de la ecuación algebraica general de quinto grado (llamada quíntica).

N.H.Abel

Abel estaba enterado no sólo de las fórmulas de Cardano y de Bombelli para las ecuaciones cúbica y cuártica, sino que conocía muy bien la problemática pendiente. Ya desde fines de 1823, Abel llegaría a la conclusión de que resultaba imposible la resolución algebraica quíntica En agosto de 1825 emprendió el viaje al extranjero, aunque antes de partir editó una breve memoria en la que se exhibía la idea de la inversión de las elípticas. En su memoria sobre el problema anterior, destacó que se debían indagar las condiciones para poder resolver algebraicamente ecuaciones de cualquier grado, preludio de un paréntesis que solventó más tarde E. Galois (1811-1832) para sentar las bases de su teoría de ecuaciones mediante la de grupos, mostrando que a cada ecuación corresponde un grupo de sustituciones. Abel investigó la estructura de los grupos conmutativos y mostró que son producto de grupos cíclicos. No obstante, no destacaría en su trabajo el concepto de grupo ( ni la noción explícita de subgrupo normal). Crelle era un destacado ingeniero, una de cuyas obras fue el primer ferrocarril prusiano entre Berlín y Postdam y autor también de algunos trabajos matemáticos. Crelle sería un fuerte impulsor de la matemática en Prusia, fundando (1825) el Journal für die reine und angewandte Mathematik(Journal Crelle), revista pionera de matemática pura en el mundo y la más prestigiosa de Alemania. Abel estableció una cordial amistad con Crelle, quien pronto adivinó que aquél era un genio. En los primeros números editó 7 de sus trabajos; publicando 22 en total en el Journal de Crelle. El manuscrito de Abel (que contiene el ya conocido como su gran teorema) se refiere a la extensión del teorema de adición de Euler para integrales elípticas, al caso de integrales de funciones racionales R(x, y(x)) de la variable x y de cualquier función algebraica y(x). Grosso modo, el teorema enuncia “cualquier suma de integrales de la forma R(x, y)dx, donde las variables están relacionadas por f(x,y)=0 (f=polinomio en x e y ), puede expresarse en términos de un número fijo p de integrales de ese tipo más términos algebraicos y logarítmicos”. El mínimo número p depende sólo de la ecuación f(x,y)=0, el cual luego sería llamado género de la misma. Esto muestra que reconoció dicha noción fundamental antes que B. Riemann (1826-1866). Abel transformó radicalmente la teoría de integrales elípticas en la teoría de funciones elípticas, haciendo uso de las funciones inversas de aquéllas, mucho más fáciles de manipular. Los teoremas de adición de funciones elípticas, representan por otra parte, aplicaciones especiales del teorema de Abel sobre la suma de integrales de funciones algebraicas. Esta cuestión dio origen a investigar las integrales hiperelípticas (una generalización de las que Abel inició sus pasos, para que se invirtieran al igual que las elípticas) naciendo así la teoría de funciones abelianas de p variables. La obra de Cauchy inspiró a Abel y algunos criterios de convergencia llevan hoy el nombre de Abel(pág 496). Éste advirtió y corrigió (1826) el error de Cauchy de su falso teorema sobre la continuidad del límite de una serie convergente de funciones continuas. Es claro que Cauchy aún no tenía la idea del concepto de convergencia uniforme . Desde hacía tiempo Abel padecía tuberculosis, en la Navidad de 1828 viajó a Fröland. Mediado 1829 empeoró a causa de una hemorragia persistente. Padeció su peor agonía la noche del 5 de abril y el día 6 falleció. Tenía 26 años y ocho meses.Dos días después de su muerte, una carta de Augusto Crelle, anunciaba que la Universidad de Berlín le había nombrado profesor de matemáticas.

Gauss y Humboldt solicitarían también una cátedra para Abel. Legendre, Poisson y Laplace, escribieron asimismo al rey de Suecia para que ingresara en la Academia de Estocolmo.

El Premio Abel (equivalente al Premio Nobel ) ha sido instituido desde el año 2002, bicentenario de su nacimiento.

Evariste Galois

La aportación de Evariste Galois a las matemáticas no es sencilla de entender por la complejidad, incluso para los tiempos actuales, que encierra en su interior. No fue completamente comprendida por los matemáticos de su época, algunos sencillamente la ignoraron, y hasta finales del siglo XIX no se descubrió su profundidad y alcance. Se centra fundamentalmente en el campo del álgebra, rama a la que dió un impulso casi definitivo. Sus investigaciones dieron lugar a la llamada Teoría de Grupos y Cuerpos de Galois. Para hacernos una idea de su importancia baste decir que las estructuras algebraicas llamadas Grupos de Galois son utilizadas asiduamente en los tiempos actuales en ramas de la técnica como la Criptografía, la Informática o las Telecomunicaciones.

En 1829, siendo todavía estudiante, Galois logró publicar su primer trabajo. Se titulaba ’Demostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas’, y apareció en Annales de mathématiques pures et appliquées, de Joseph Diaz Gergonne. Galois trabajó durante mucho tiempo en la obtención de una fórmula general válida para ecuaciones de grado 5 y superiores. Normalmente sus esfuerzos concluían en ecuaciones erróneas y más complicadas de resolver que la ecuación original . Evariste Galois

Finalmente demostró, casi simultaneamente con Niels Henrik Abel, la imposibilidad de encontrar una solución general a estas ecuaciones utilizando únicamente la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación y la radicación de los coeficientes (es decir, mediante radicales). Llegó a la conclusión de que dichas ecuaciones sólo pueden resolverse de forma aproximada utlizando técnicas de cálculo numérico. Sin embargo, existen muchas ecuaciones de grado 5 y superiores perfectamente resolubles mediante radicales. Son casos particulares, pero Galois enunció y demostró un teorema, a veces llamado teorema de Galois, para identificar dichas ecuaciones. Dice así: «Si en una ecuación polinómica la potencia más alta es un múmero primo y si, supuesto conocidos dos valores de la x, los demás se pueden obtener a partir de ellos usando únicamente la suma, la resta, la multiplicación y la división, entonces la ecuación puede ser resuelta mediante radicales.»

La aportación más importante que Evariste Galois hizo a las matemáticas de su tiempo fue el concepto de Grupo. El concepto de Grupo fue necesario para encontrar una formulación más general y menos engorrosa que la que porporcionaba el teorema anteriormente citado (identificación de las ecuaciones de grado 5 y superiores resolubles mediante radicales). El concepto no es en absoluto sencillo y Galois llegó a enunciar una condición para que una ecuación polinómica cualquiera pueda ser resoluble madiante radicales. De forma resumida Galois afirmó que ’si los coeficientes de una ecuación conforman una estructura de Grupo de Galois respecto de una determinada operación definida por él y el tal grupo verifica una serie de condiciones también concretadas, entonces la ecuación es resoluble mediante radicales’.

Los axiomas de Grupo los definió Galois dentro de su trabajo relativo a resolución de ecuaciones polinómicas. Es decir que, para conseguir un objetivo concreto como fue determinar la resolubilidad mediante radicales de una ecuación polinómica, le fue necesario crear toda una estructura algebraica de enorme aplicación en ramas de la matemática que no tienen nada que ver con el origen de su estudio.

Evariste Galois nació el día 25 de octubre de 1811 en el pueblo de Bourg-la-Reine, situado a escasa distancia de París. Evariste, en 1823, a la tierna edad de once años estaba en condiciones de ingresar en el Liceo (escuela superior) Louis-le-Grand de París. Sus resultados escolares de estos años fueron mediocres. Este hecho, unido a su juventud, impulsaron a los rectores del Liceo a obligarle a repetir el segundo curso. La forma de enseñanza de las matemáticas en el Liceo no difería mucho de la del resto de las asignaturas. Profundizó en ellas más de lo que le exigían y tuvo, por fin, oportunidad de pensar con método, descubrió el desorden imperante dentro del Álgebra y la cantidad de problemas sin resolver que encerraba. Problemas que pasaron a ocupar la mayor parte de su tiempo.

A partir de esta época el joven Galois tenía por fin una meta en su vida: ser matemático. La mejor forma de conseguirlo era ingresar en la Escuela Politécnica, actualmente el instituto científico más prestigioso de Francia. Para entrar en ella era necesario superar un examen de ingreso. Desgraciadamente, los profesores de la Escuela eran del mismo tipo que los del Liceo. Durante el examen oral los examinadores no comprendieron las explicaciones de Evariste, ni el alcance de sus nacientes trabajos en el campo del Álgebra. Es a partir de 1829 cuando la vida de Galois entra en la espiral de sinsabores y desengaños que, posiblemente, acabó con él. En esta época escribió un magnífico trabajo sobre resolución de ecuaciones, campo en el que había trabajado desde el principio de sus estudios matemáticos. Lo envió a la Academia de Ciencias para su publicación. Tuvo la mala fortuna de que su trabajo cayera en manos de Augustin-Louis Cauchy, el primer matemático francés de la época. Cauchy estaba muy ocupado con sus propias investigaciones, no lo entendió y no le prestó demasiada atención .

manuscrito....Evariste Galois

Entonces hizo un segundo intento de ingresar en la Escuela Politécnica. Su examinador, el profesor Dinet, supervisor de exámenes durante más de cuarenta años, le hizo una pregunta trivial sobre logaritmos. Sin duda esperaba que Evariste se ciñera a lo conocido hasta entonces sobre el tema, expuesto en el popular libro de texto de Leonhard Euler. Sin embargo, Galois se lanzó a una explicación de sus propias ideas sobre los logaritmos. El viejo Dinet, que fue profesor de Cauchy, no lograba entenderle. Galois lo intentó una y otra vez hasta que definitivamente nervioso e irritado lanzó un borrador a la cabeza del anciano.

De nuevo embebido en sus estudios matemáticos, en febrero de 1830, preparó un trabajo sobre resolución de ecuaciones polinómicas y lo envió a la Academia de Ciencias para optar al Gran Premio de Matemáticas. El trabajo fue aceptado por el gran matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier, pero desgraciadamente murió antes de poder leerlo. El manuscrito se perdió sin dejar rastro.

Evariste se alista en la Guardia Nacional e ingresó en la asociación republicana Amis du Peuple. Su estancia en el ejército duró poco ya que ingresó el 4 de diciembre y las baterías de artillería de la Guardia Nacional fueron disueltas el 31 de diciembre del mismo año. La mayor parte de su tiempo en esta época estuvo dedicado a la lucha revolucionaria. Bajo el régimen de Luis Felipe I tuvieron lugar sus primeros escarceos con la justicia que ya no le abandonarían hasta el fin de sus días, marcado como un agitador político y un peligro para la ley y el orden. Su libertad fue muy breve. Durante el 14 de julio, Día de la Bastilla, él y un compañero desfilaron por las calles de París armados y vestidos con el lujoso uniforme de la artillería de la Guardia Nacional disuelta en diciembre del año anterior. Por lo tanto era ilegal vestir su uniforme y fueron detenidos. Finalmente fue puesto en libertad el 29 de abril de 1832.

El duelo en el que Galois perdió la vida, el adversario era como él, un ardiente republicano. El duelo fue entre amigos y se desarrolló como una especie de ruleta rusa; estando cargada solamente una de las pistolas.

manuscrito...Evariste Galois

El día anterior lo dedicó a detallar todos sus descubrimientos en una carta dirigida a su amigo:Auguste Chevalier. Galois no tenía muchas esperanzas de salir con vida. En esta larga carta encomendaba a Chevalier la tarea de hacer llegar sus trabajos a Gauss y a Jacobi, únicos matemáticos capaces, según su criterio, de comprenderle. Varias veces escribió en el margen de la carta «Demasiado poco tiempo». A la mañana siguiente, el viernes 30 de mayo de 1832, en un descampado de las afueras de París, Evariste Galois recibió un disparo en el estómago durante el duelo, que le hizo morir desangrado al día siguiente en un hospital. Fue enterrado en una fosa común.

Los estudios matemáticos de Galois permanecieron incomprendidos hasta mucho tiempo después. Fue en 1846 cuando Joseph Liouville los publicó completos en una revista matemática francesa. A partir de ese momento comenzaron a influir en los trabajos de los matemáticos posteriores y a ser reconocidos por su importancia. Tanto es así, que hicieron surgir una nueva rama de las Matemáticas llamada Teoría de Grupos y Cuerpos de Galois. Estas ideas fueron consideradas hasta tal punto innovadoras y originales que el grandísimo matemático alemán Félix Klein dijo de él a finales del siglo XIX: «En Francia apareció hacia 1800 una nueva estrella de inimaginable brillo en el firmamento de las Matemáticas... Evariste Galois».

Los grandes matemáticos (E.T.Bell)

fuente

http://abelgalois.blogspot.com/2006_04_01_archive.html

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